Monotone Operator

释义 Definition

单调算子：在数学（尤其是泛函分析与优化）中，指满足“单调性”条件的算子（从一个向量空间映射到其自身或对偶空间）。常见表述为：对任意 (x,y)，都有
(\langle Tx - Ty,; x - y\rangle \ge 0)（在合适的内积/配对下）。
（注：在不同语境里还有“最大单调算子”等更细分概念。）

发音 Pronunciation (IPA)

/məˈnɑːtoʊn ˈɑːpəreɪtər/

例句 Examples

A gradient of a convex function is a monotone operator.
凸函数的梯度是一个单调算子。

In Hilbert spaces, maximal monotone operators are central to proving convergence of many splitting algorithms for variational inequalities.
在希尔伯特空间中，最大单调算子是证明许多用于变分不等式的算子分裂算法收敛性的核心工具。

词源 Etymology

monotone 来自希腊语词根 mono-（“单一”）+ tone（“音调/声调”），原义偏向“单一音调、无起伏”，后来在数学语境中引申为“方向一致、不反向变化”的“单调”。operator 源自拉丁语 operari（“工作、操作”），在数学里指“作用在对象上的映射/运算规则”。组合起来，“monotone operator”即“具有单调性性质的算子”。

相关词 Related Words

• Accretive
• Convex
• Fixed-Point
• Hilbert Space
• Maximal Monotone
• Monotonicity
• Nonexpansive
• Operator
• Subdifferential
• Variational Inequality

文学与经典著作 Literary / Notable Works

• Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces（Heinz H. Bauschke & Patrick L. Combettes）
• Nonlinear Functional Analysis and Its Applications（Eberhard Zeidler）
• Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations（Viorel Barbu）
• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar）